백준 2089, 골드바흐 파티션

문제

• 골드바흐의 추측: 2보다 큰 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

짝수 N을 두 소수의 합으로 나타내는 표현을 골드바흐 파티션이라고 한다. 짝수 N이 주어졌을 때, 골드바흐 파티션의 개수를 구해보자. 두 소수의 순서만 다른 것은 같은 파티션이다.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T (1 ≤ T ≤ 100)가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고, 정수 N은 짝수이고, 2 < N ≤ 1,000,000을 만족한다.

출력

각각의 테스트 케이스마다 골드바흐 파티션의 수를 출력한다.

예제 입력 1 

5
6
8
10
12
100

예제 출력 1 

1
1
2
1
6

 

 골드바흐 문제에서 가장 까다로운 부분이라면 소수를 구하는 데 시간을 많이 허비해서는 안 된다는 것이다. 이 문제를 해결하기 위해 에라토스테네스의 체 알고리즘을 이용하여 입력받은 수들 중 가장 큰 수보다 작거나 같은 모든 소수를 한 번에 구한 후 파티션을 구하였다. 에라토스테네스의 체 알고리즘에 대해 간단히 설명하자면 어떤 소수에 대해 그 소수를 제외한 나머지 소수의 배수는 소수가 아니라는 것이다. 이를 이용하여 미리 판단해야될 경우에서 배제하는 방식이 이 알고리즘이다. 

 다시 본론으로 돌아와서, 문제를 해결한 방식은 다음과 같다.

 

1. 케이스의 개수와 데이터를 입력받는다.
2. 입력받은 수들 중 가장 큰 수보다 작거나 같은 모든 수들에 대해 소수 여부를 판단한다.(에라토스테네의 체 알고리즘)
3. 각 케이스에 대해서 골드바흐 파티션의 수를 구하고 이를 출력한다.

 

 코드는 다음과 같다.

 

#include <iostream>
#include <vector>



bool primary[1000001];

void isPrimary(int num) 
{
	primary[1] = false;
	
	for (int i = 1; i <= num; i++) 
	{
		if (primary[i]) 
		{
			for (int j = 2*i; j <= num; j += i) 
			{
				primary[j] = false;
			}
		}
	}
}

int main() 
{
	int N;
	std::cin >> N;

	std::vector<int> input;

	for (int i = 0; i < 1000001; i++)
	{
		primary[i] = true;
	}

	int max_num = -1;
	for (int i = 0; i< N; i++) 
	{
		int data;
		std::cin >> data;

		if (data > max_num) max_num = data;

		input.push_back(data);
	}

	isPrimary(max_num);

	for (int i = 0; i < input.size(); i++) 
	{
		int cnt = 0;

		
		for (int j = 2; j <= input[i] / 2; j += 1)
		{
			if (primary[j] && primary[input[i] - j]) cnt++;
		}

		std::cout << cnt << '\n';
	}

	return 0;
}

 

 소수를 구하는 방법에 대해서 알고 있어다면 쉽게 풀 수 있었던 문제였다. 이 것으로 글을 마친다.